Почнал да игра во малку познатите клубови Бандирма Кирмизи и Тексут Бандирма. Потоа една сезона игра во Бешикташ каде го потврдува својот голем потенцијал и се појавува на НБА драфтот во летото 2021-ва. Го бира Оклахома Сити Тандер како 16-ти пик и набрзо го трампа во Хјустон Рокетс.
Алпереј Шенгун на 20-ти декември 2021-ва дебитирал во НБА на мечот против Минесота Тимбервулвс кога постигнал 11 поени со шест скока, две асистенции и три украдени топки.
Од тогаш станува стандарден играч на Хјустон Рокетс, а синоќа во големото дерби на Тексас против Сан Антонио поставил нов личен рекорд во НБА кариерата со 45 поени, 16 скока и три асистенции.
Ова е и најефикасен, рекорден меч на еден турски кошаркар во НБА. Претходниот го држел Мехмет Окур кој во сезоната 2008/2009 постигнал 43 поени со 3 асистенции на мечот меѓу Јута Џез и Индијана Пејсерс. Окур стана и првиот Турчин со НБА шампионски прстен откако во 2004-та со Детроит Пистонс стигна до титулата.
